有趣的“三門問題”，是如何讓人感到神奇的？

前言

科A即爲科學ADV系列，他們家非常熱衷於打造科學類科幻懸疑，將穿越、超能力、人體操控等幻想類要素以科學的角度來解釋。10月5日在遊玩系列最新作《匿名代碼》的過程中我回憶起了一個有趣的悖論“只要改變選擇就能提高選對的概率。”聽起來很微妙，但是的確存在着這樣一個概率問題。

“三門問題”

三門問題，又名蒙提霍爾問題，該問題出自美國電視遊戲節目“Let's Make a Deal”，是蒙提·霍爾本人提出的一個有趣的小遊戲——簡單點說就是，有三扇門，只有一扇門後面有獎品，選手可以事先預定一扇門（但不打開）

之後由主持人選擇一扇門打開，已知主持人知道哪扇門後面有獎品，所以打開的那扇門後面絕對沒有獎品，之後獎品存在於剩下倆扇門中，可能是在你預定的那扇門裏也可能是在另一扇，假如這個時候跟你說如果你放棄預定的那扇門而是更換你的選擇，中獎的概率就會提高，你信嗎？

正常人思維沒有繞過來的肯定是不信的，因爲無論改不改變自己的選擇好像都是1/2的中獎概率，改變選擇就會增加中獎概率什麼的簡直就是荒謬。然而事實是怎麼樣呢？

如何解題？

1.不改變選擇：如果後續不改變選擇的話，就是開局從三扇門之間任意選擇一扇，且必須選到有獎品的那扇門才能中獎，中獎概率顯而易見就是1/3。

因爲不做出改變的話遊戲從你選擇的那一刻就已經結束了，無論後續主持人是打開了門還是沒打開門都對你的選擇沒有什麼影響，除非你開局就選到了中獎的門不然你不可能中獎，所以你的中獎概率從頭到尾都是1/3。

2.改變選擇：如果後續一直改變選擇的話，就是開局從三扇門之間任意選擇一扇，然後等待主持人打開空門後選擇另外一扇門以後概率就會突然變成2/3。

已知空門有兩扇，當我們開局選到中獎的門時，經過主持人排除一個空門以後在改變我們的選擇，我們就一定會選到空門，那麼反之，如果我們開局選到空門的話，經過主持人排除一個空門以後改變我們的選擇就一定會選到中獎的門，所以代表着只要我們選到空門後續就一定能中獎，而空門有兩扇，故中獎的概率是2/3。

加量測試

如果你對1/3轉換成2/3沒有太大的感覺的話，不妨來試試加大數值讓我們的數據觀感更強。首先將原本的3扇門改爲3000000扇門，其中只有一扇門背後有獎品，還是老樣子開局讓我們先預選一扇門，從3000000扇門選擇一扇的中獎概率是1/3000000，再由主持人打開2999998扇沒有中獎的門，此時場上只剩下兩扇門（因爲已經將沒有中獎的門排除完畢，所以兩扇之間必定有一扇有獎品）

接着讓我們來轉換選擇，假設我們一開始運氣特好選中了那1/3000000的概率，那麼轉換選擇後就不會中獎。但其實大部分情況是我們選中了空門，在排清錯誤選項以後，再轉換選擇後我們就必定從兩扇門之間選擇到中獎的那一扇門。

意思是原先只有1/3000000的中獎概率，在我們轉換選擇後，就會增加到2999999/3000000，從一開始幾乎不可能中獎一下子變成幾乎必定中獎。排錯後僅僅是改變一次選擇就能讓概率 1/3000000→2999999/300000，正因如此這個概率問題才如此神奇。

“三門問題”的本質

經過上述的解釋以後其實我們可以發現“三門問題”的邏輯（排除錯誤答案改變選擇提高概率）是沒有漏洞的，那麼爲什麼一開始我們會毫無置疑就否認這個邏輯呢？其實無論是出題者又或者是本人上述的解釋其實都在把你們往“更換選擇”這個錯誤的方向去引導，不可否認的是當我提問是否能增加概率時，一般人第一時間想到的都是“就兩個未知選擇一個正確答案，那更不更換選擇不都是1/3的中獎概率嗎？”

沒錯，他們第一時間想到的都是“改變選擇”這個變量，而並非是“主持人排錯”這個變量，相信看完加量測試的你們一定或多或少會有吐槽：“我都排除個2999998錯誤選項了還用你說爲什麼增加了概率？”然而我只是在合理的角度增加了問題的數值，其實加量後的問題和原問題的本質是一模一樣的，那麼爲什麼看原問題時我們沒有想到這一點呢？

從這一點我們就可以看的出來其實這個問題的大頭並非是改變而是排除，只是主持人的刻意引導讓我們的思維刻意的忽略了這一點，腦子裏只考慮到改變了之後會發生什麼，而非是排除後再改變會發生什麼。

全面看問題

“概率存在於被給予的條件下，概率不能寄託在實際的物體上。”這是百科上對於“三門問題”的總結，解釋的很複雜還像機翻一樣，本人來來回回看了三遍才明白想表達什麼。把這個解釋放在三門問題中再用惡毒一點的話來說就是：“一些腦容量低的傢伙看見了是兩扇門之間二選一就是1/2的概率，而完全不考慮爲什麼是由三扇門中的兩扇來選。”

再用更通俗易懂的例子來說就是，我抽卡已經墊了199抽了，下一抽就要保底了100%出貨，問你下一抽出貨的概率是多少，你還擱那跟我吹你那套出貨概率是0.9%所以不一定出貨的大道理，那不是鬧烏龍嗎？